Die Kettenregel

Nun behandelt ihr das Thema „Ableitungen“ schon etwas länger im Unterricht und du kennst bereits die wichtigsten Ableitungsregeln, bis auf die Kettenregel? Wenn ja, dann bist du jetzt bereit für diesen Blogbeitrag. Zu Beginn fällt es vielen Schülern schwer, überhaupt zu erkennen, wann mit der Kettenregel abgeleitet werden muss. Im Folgenden wird dir jedoch einfach und schnell erklärt, wann man die Kettenregel anwendet und wie dies funktioniert.

Achtung:

Bevor du diesen Blogbeitrag liest, solltest du dir sicher sein, dass du die Potenzregel, die Faktorregel und die Produktregel schon beherrschst.

Wichtige Info zur Anwendung:

Wie der Name schon besagt, verwendet man die Kettenregel bei verketteten oder verschachtelten Funktionen. Diese Funktionen bestehen immer aus einer inneren und einer äußeren Funktion, welche beide abgeleitet werden müssen.

Ein allgemeines Beispiel hierfür ist:

f(x)= u(v(x)), abgeleitet also: f´(x)= u´(v(x)) ⦁ v´(x)

Das sieht vielleicht anfangs noch sehr kompliziert aus, ist es jedoch nicht.

Erklärung: u(x) ist unsere äußere Funktion und v(x) ist die innere Funktion. Zuerst leitet man die äußere Funktion ab und lässt die innere stehen, danach muss man nachdifferenzieren, also die innere Funktion ableiten und mal (⦁) nehmen. Achte darauf, dass du das nachdifferenzieren nicht vergisst, denn dies passiert sehr vielen Schülern.

Beispiel: 

f(x)= 4 ⦁ sin(2x + 4)

Schritt 1: Wir leiten die äußere Funktion, in diesem Fall u(x)= 4⦁ sin(x), ab. Hierfür benötigen wir die Faktorregel. Die innere Funktion wird einfach stehen gelassen.

f´(x)= 4 ⦁ cos(2x + 4)

Schritt 2: Nun müssen wir die innere Funktion, in diesem Fall v(x)= 2x + 4, nachdifferenzieren. v(x) wird mit der Potenzregel abgeleitet. Wir erhalten nun unser fertiges Ergebnis.

f´(x)= 4 ⦁ cos( 2x + 4) ⦁ 2

       = 8 ⦁ cos( 2x+ 4)